【一元二次不等式的解法步骤】一元二次不等式是数学中常见的问题，其形式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $（或 <, ≥, ≤）。解决这类不等式的关键在于理解二次函数的图像特征，并结合判别式和根的位置进行分析。以下是解一元二次不等式的标准步骤总结。
一、解一元二次不等式的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 整理不等式：将不等式化为标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或类似形式，确保 $ a > 0 $，若 $ a < 0 $，可两边乘以 -1 并改变不等号方向。 |
| 2 | 求对应方程的根：解对应的二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $（可能相等或无实根）。 |
| 3 | 计算判别式：$ \Delta = b^2 - 4ac $，用于判断根的性质。 |
| 4 | 画出二次函数图象：根据开口方向（由 $ a $ 的符号决定）和根的位置，绘制抛物线草图。 |
| 5 | 确定不等式的解集：根据不等号类型和抛物线与 x 轴的交点位置，判断满足条件的 x 值范围。 |
二、不同情况下的解集分析
| 判别式 Δ | 根的情况 | 不等式类型 | 解集表示 |
| Δ > 0 | 两个不等实根 $ x_1 < x_2 $ | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ |
| Δ > 0 | 两个不等实根 $ x_1 < x_2 $ | $ ax^2 + bx + c < 0 $ | $ x_1 < x < x_2 $ |
| Δ = 0 | 一个重根 $ x_0 $ | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | $ x \neq x_0 $（当 $ a > 0 $） |
| Δ = 0 | 一个重根 $ x_0 $ | $ ax^2 + bx + c < 0 $ | 无解 |
| Δ < 0 | 无实根 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | 全体实数（当 $ a > 0 $） |
| Δ < 0 | 无实根 | $ ax^2 + bx + c < 0 $ | 无解 |
三、注意事项
- 若 $ a < 0 $，需在解题过程中注意不等号方向的变化。
- 对于含“等于”的不等式（如 ≥ 或 ≤），需在解集中包含对应的根。
- 在实际应用中，应结合图像直观判断解集范围，避免仅依赖代数运算。
通过以上步骤和表格的归纳，可以系统地掌握一元二次不等式的解法思路，提高解题效率和准确性。