【等差前n项求和公式】在数列的学习中，等差数列是一个非常重要的概念。等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差值称为“公差”，通常用字母 $ d $ 表示。而等差数列的前 $ n $ 项之和，则是我们在数学学习中经常需要计算的内容。
为了更方便地计算等差数列的前 $ n $ 项和，我们引入了“等差前n项求和公式”。该公式能够快速、准确地算出一个等差数列的前 $ n $ 项之和，避免了逐项累加的繁琐过程。
一、等差前n项求和公式
等差数列的前 $ n $ 项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $：表示前 $ n $ 项的和；
- $ a_1 $：首项；
- $ a_n $：第 $ n $ 项；
- $ n $：项数。
另外，由于等差数列的第 $ n $ 项可以表示为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
因此，也可以将公式改写为：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
这个形式在已知首项和公差的情况下更为实用。
二、总结与应用
| 公式名称 | 公式表达 | 适用条件 |
| 等差前n项求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 已知首项和末项 |
| 等差前n项求和公式（另一种形式） | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 已知首项和公差 |
三、实例说明
例如，已知一个等差数列的首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求前5项的和。
使用第二种公式：
$$
S_5 = \frac{5}{2} [2 \times 3 + (5 - 1) \times 2] = \frac{5}{2} [6 + 8] = \frac{5}{2} \times 14 = 35
$$
或者直接列出前5项：3, 5, 7, 9, 11，求和得：3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35，结果一致。
四、小结
等差前n项求和公式是解决等差数列求和问题的重要工具。掌握这两种形式的公式，并能根据题目给出的条件灵活选择使用，是学好数列的关键之一。通过实际例子的应用，可以更好地理解公式的含义和使用方法。