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三阶行列式计算公式

2025-09-13 04:42:44

问题描述：

三阶行列式计算公式，快急哭了，求给个正确方向！

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2025-09-13 04:42:44

一朵云

问答领域知识达人

2025-09-13 04:42:44

【三阶行列式计算公式】在数学中，行列式是一个重要的概念，尤其在矩阵运算和线性代数中有着广泛的应用。三阶行列式是3×3矩阵的行列式，它可以帮助我们判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等。下面将对三阶行列式的计算公式进行总结，并通过表格形式展示其计算步骤。

一、三阶行列式的定义

对于一个3×3的矩阵：

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

其对应的三阶行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，计算公式如下：

A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

这个公式也被称为“展开法”或“余子式展开”。

二、三阶行列式的计算步骤（按行展开）

为了更清晰地理解计算过程，我们可以按照第一行展开，具体步骤如下：

步骤	操作	公式
1	第一项为 $ a_{11} $ 乘以它的余子式	$ a_{11} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $
2	第二项为 $ a_{12} $ 乘以它的余子式，符号为负	$ -a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} $
3	第三项为 $ a_{13} $ 乘以它的余子式	$ a_{13} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $
4	将三个部分相加，得到最终结果	$	A	= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) $

三、三阶行列式的另一种计算方式（对角线法则）

除了按行展开外，还可以使用“对角线法则”来计算三阶行列式。该方法适用于快速计算，但需要特别注意符号的变化。

具体步骤如下：

1. 将原矩阵复制到右边，形成一个扩展矩阵。

2. 从左上到右下方向的对角线元素相乘并相加。

3. 从右上到左下方向的对角线元素相乘并相加。

4. 用第一部分减去第二部分，得到最终结果。

例如，对于矩阵：

\begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{bmatrix}

计算公式为：

A = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

四、总结对比

方法	优点	缺点	适用场景
行展开法	理论清晰，便于理解	计算步骤较多	初学者学习行列式
对角线法则	快速直观，适合记忆	需要记住符号规则	快速计算时使用

五、示例计算

假设矩阵为：

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

使用对角线法则计算：

A = (1×5×9) + (2×6×7) + (3×4×8) - (3×5×7) - (2×4×9) - (1×6×8)

= 45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 225 - 225 = 0

因此，该矩阵的行列式为 0，说明该矩阵不可逆。

通过以上内容可以看出，三阶行列式的计算有多种方法，选择合适的方法可以提高计算效率。希望本文能帮助你更好地理解和掌握三阶行列式的计算公式。

标签：三阶行列式计算公式

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