【常见函数求导公式】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念。它用于描述函数的变化率，是研究函数性质、极值、单调性等的重要工具。掌握常见的函数求导公式，对于解决实际问题和进一步学习高等数学具有重要意义。
以下是对一些常见函数的导数进行总结，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
当函数由多个部分组成时，如 $ y = f(g(x)) $，其导数遵循链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $ 的导数为 $ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- $ y = (x^2 + 1)^5 $ 的导数为 $ 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、三角函数的导数（补充）
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec} x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc} x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 与 $ x = f^{-1}(y) $ 互为反函数，则它们的导数满足：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
$$
五、高阶导数简介
除了基本的一阶导数外，还可以对函数继续求导，得到二阶、三阶甚至更高阶的导数。例如：
- $ f(x) = x^3 $ 的一阶导数为 $ 3x^2 $，二阶导数为 $ 6x $，三阶导数为 $ 6 $。
- $ f(x) = \sin x $ 的一阶导数为 $ \cos x $，二阶导数为 $ -\sin x $，三阶导数为 $ -\cos x $，四阶导数为 $ \sin x $，以此类推。
总结
掌握常见函数的求导公式是学好微积分的基础。通过理解这些公式的来源和适用范围，可以更灵活地应用导数解决实际问题。同时，注意在使用过程中结合链式法则、乘法法则、除法法则等，提高解题效率和准确性。
建议在学习过程中多做练习题，加深对导数的理解和运用能力。