【等差和等比所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种重要的数列类型，它们在高中数学乃至更高级的数学学习中都有广泛应用。掌握它们的基本公式对于解题和理解数列规律非常重要。以下是对等差数列和等比数列所有常用公式的总结。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用 d 表示。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 与第n项公式相同 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n $ 为前n项和 |
| 另一种前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项和公差的情况 |
| 中间项公式 | 若n为奇数，则中间项为 $ a_{\frac{n+1}{2}} $ | 用于求对称位置的项 |
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用 r 表示。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 与第n项公式相同 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | $ S_n $ 为前n项和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 所有项相等，直接乘以项数 | ||
| 无限等比数列和（当 $ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 适用于无穷递缩等比数列 |
三、对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值 | 每一项与前一项的比为定值 | ||
| 公差 | $ d $ | $ r $ | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | ||
| 无限项和 | 不适用（除非为常数列） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） |
通过以上总结，我们可以清晰地看到等差数列和等比数列之间的区别与联系。在实际应用中，根据题目给出的条件选择合适的公式进行计算是非常关键的。建议多做练习题来加深对这些公式的理解和运用能力。