【怎样用分部积分法求积分】分部积分法是微积分中一种非常重要的积分方法，尤其适用于被积函数为两个函数相乘的情况。它基于乘积法则的逆运算，常用于处理如多项式与指数函数、多项式与三角函数、对数函数与多项式等组合形式的积分。
一、基本原理
分部积分法的公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个容易求导的函数；
- $ dv $ 是一个容易积分的函数；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的积分。
通过选择合适的 $ u $ 和 $ dv $，可以将原积分转化为更简单的形式。
二、使用步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定被积函数的形式，判断是否适合使用分部积分法 |
| 2 | 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $，通常遵循“ILATE”原则（I: 对数函数，L: 三角函数，A: 代数函数，T: 指数函数，E: 三角函数） |
| 3 | 计算 $ du $ 和 $ v $ |
| 4 | 代入公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 5 | 解新得到的积分，必要时再次使用分部积分法或其它方法 |
三、常见类型及示例
| 类型 | 被积函数 | 示例 | 处理方式 |
| 多项式 × 指数函数 | $ x e^x $ | 令 $ u = x $, $ dv = e^x dx $ | 分部一次即可 |
| 多项式 × 三角函数 | $ x \sin x $ | 令 $ u = x $, $ dv = \sin x dx $ | 分部一次即可 |
| 对数函数 × 多项式 | $ \ln x \cdot x $ | 令 $ u = \ln x $, $ dv = x dx $ | 分部一次即可 |
| 指数函数 × 三角函数 | $ e^x \sin x $ | 可能需要两次分部积分，最终解方程 | 需要耐心处理 |
| 反三角函数 × 多项式 | $ \arctan x \cdot x $ | 令 $ u = \arctan x $, $ dv = x dx $ | 分部一次即可 |
四、注意事项
- 选择恰当的 $ u $ 和 $ dv $：如果选错了，可能会使问题变得更复杂。
- 避免循环积分：在某些情况下，多次分部后会出现原积分，此时需设方程求解。
- 检查结果：对结果进行求导验证是否正确。
五、小结
分部积分法是一种技巧性较强的积分方法，关键在于合理选择 $ u $ 和 $ dv $，并熟悉不同类型的函数组合。通过反复练习和积累经验，可以更熟练地应用这一方法解决复杂的积分问题。
附：分部积分法适用情况速查表
| 函数类型 | 是否适合分部积分 | 建议选择 |
| 多项式 × 指数 | ✅ | 多项式作为 $ u $ |
| 多项式 × 三角 | ✅ | 多项式作为 $ u $ |
| 对数函数 × 多项式 | ✅ | 对数函数作为 $ u $ |
| 指数 × 三角 | ✅ | 指数或三角作为 $ u $ |
| 反三角 × 多项式 | ✅ | 反三角作为 $ u $ |
通过掌握这些要点和技巧，你将能够更高效地运用分部积分法来解决各种积分问题。