问4 阶行列式怎么降阶 3 阶 按行展开降阶详解

4 阶行列式降阶成 3 阶行列式，核心方法就是行列式按行或者按列展开，也就是代数余子式展开定理，操作的时候优先选择含有零元素多的某一行或者某一列，利用行列式性质先做初等变换，把这一行或者这一列尽可能变出更多零，再展开，展开之后原本的 4 阶行列式就拆成多个 3 阶行列式相加，这样就把高阶计算转化成低阶 3 阶行列式计算，这是线性代数里面计算高阶行列式最基础常用的办法，也就是常说的降阶法，这个方法可以减少计算量，避免直接展开 4 阶行列式带来庞大的运算量。

核心原理

行列式按行展开定理，行列式等于某一行全部元素，分别乘以对应代数余子式之后求和，代数余子式就是去掉该元素所在行和列之后剩下的 3 阶子式，再乘以正负号，正负号由元素所在行标列标相加的奇偶决定，奇数和带负号，偶数和带正号，4 阶行列式去掉一行一列之后，剩下正好是 3 行 3 列，也就是 3 阶行列式，这就是 4 阶行列式降阶得到 3 阶行列式的原理。

表格

4 阶行列式降阶 3 阶操作步骤

第一步 观察 4 阶行列式，挑选一行或者一列，优先选里面已经有零的那一行。

第二步 使用行列式初等变换，把该行其余元素转化成零，初等变换是把某一行倍数加到另一行，行列式数值保持不变。

第三步 选定展开行，按照代数余子式展开公式，把 4 阶行列式写成元素乘代数余子式之和。

第四步 因为大部分元素已经变成零，对应的项直接消掉，只剩下少数几项，每一项里面就是对应的 3 阶行列式。

第五步 继续计算每一个 3 阶行列式的值，最后合并得到原 4 阶行列式最终结果。

拓展要点

降阶不是一次性把 4 阶行列式直接变成单个 3 阶行列式，而是展开成若干个 3 阶行列式的代数和，这个一定要区分清楚，计算的时候符号很容易出错，是做题高频易错点，除了按行展开降阶，还可以结合行列式性质，比如行变换化成上三角行列式，但是题目要求降阶成 3 阶，就使用代数余子式展开，熟练之后，也可以连续降阶，把 3 阶行列式再继续展开，后续学习 n 阶行列式计算，这套降阶思路会一直沿用。

【相关 FAQ】

问题 1 4 阶行列式怎么降阶 3 阶 是不是展开之后只有一个 3 阶行列式

回答 1 4 阶行列式怎么降阶 3 阶，展开之后一般是多个 3 阶行列式代数和，如果选中行只有一个非零元素，就只会剩下一个 3 阶行列式。

问题 2 4 阶行列式怎么降阶 3 阶 为什么要先变出很多零

回答 2 4 阶行列式怎么降阶 3 阶，提前变出大量零元素，可以消掉很多展开项，大幅减少需要计算的 3 阶行列式数量，简化运算。

问题 3 4 阶行列式怎么降阶 3 阶 代数余子式正负号怎么判断

回答 3 4 阶行列式怎么降阶 3 阶，代数余子式正负号由元素行号加列号，和为偶数取正，和为奇数取负。

【免责申明】

本文内容仅作为 4 阶行列式降阶相关线性代数知识参考，解题规范以教材课程要求为准。