【多项式长除法】多项式长除法是一种用于将一个多项式除以另一个次数较低的多项式的计算方法，类似于整数的长除法。它在代数中有着广泛的应用，尤其是在因式分解、求解多项式方程和简化分式时非常有用。
一、基本概念
- 被除式（Dividend）：被除的多项式。
- 除式（Divisor）：用来去除被除式的多项式。
- 商（Quotient）：除法的结果。
- 余式（Remainder）：除法后剩余的部分，其次数应低于除式的次数。
二、操作步骤
1. 按降幂排列：将被除式和除式都按照变量的降幂排列。
2. 首项相除：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 乘以除式：将得到的商项乘以整个除式，结果写在被除式下方。
4. 减法运算：用被除式减去上述结果，得到新的多项式。
5. 重复步骤：继续重复上述步骤，直到余式的次数小于除式的次数为止。
三、示例演示
我们以多项式 $ x^3 + 2x^2 - 5x + 6 $ 除以 $ x - 1 $ 为例：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 排列多项式 | 被除式：$ x^3 + 2x^2 - 5x + 6 $ 除式：$ x - 1 $ |
| 2 | 首项相除 | $ \frac{x^3}{x} = x^2 $ |
| 3 | 乘以除式 | $ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 $ |
| 4 | 减法运算 | $ (x^3 + 2x^2 - 5x + 6) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - 5x + 6 $ |
| 5 | 继续除法 | $ \frac{3x^2}{x} = 3x $ |
| 6 | 乘以除式 | $ 3x \cdot (x - 1) = 3x^2 - 3x $ |
| 7 | 减法运算 | $ (3x^2 - 5x + 6) - (3x^2 - 3x) = -2x + 6 $ |
| 8 | 继续除法 | $ \frac{-2x}{x} = -2 $ |
| 9 | 乘以除式 | $ -2 \cdot (x - 1) = -2x + 2 $ |
| 10 | 减法运算 | $ (-2x + 6) - (-2x + 2) = 4 $ |
最终结果为：
- 商：$ x^2 + 3x - 2 $
- 余式：$ 4 $
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 多项式长除法是将一个多项式除以另一个多项式的计算方法 |
| 步骤 | 排列、首项相除、乘除式、减法、重复 |
| 应用 | 因式分解、求解方程、简化分式 |
| 结果 | 商 + 余式/除式（若非整除） |
通过掌握多项式长除法，可以更有效地处理复杂的代数问题，提升数学分析能力。